Kuinka laskea vektoreihin rakennetun suuntakuvan pinta-ala

Millä tahansa kahdella ei-lineaarisella ja nolla-vektorilla voidaan rakentaa suuntauskuva. Nämä kaksi vektoria supistuvat rinnan, kun yhdistät niiden alkuperän yhdessä pisteessä. Viimeistele kuvan sivut.

Käyttöohje

1

Etsi vektoreiden pituudet, jos niiden koordinaatit on annettu. Olkoon esimerkiksi vektorilla A koordinaatit (a1, a2) tasossa. Silloin vektorin A pituus on | A | = √ (a1² + a2²). Samoin löydämme vektorin B moduulin: | B | = √ (b1² + b2²), missä b1 ja b2 ovat vektorin B koordinaatit tasossa.

2

Rinnakkaiskaavioalue löytyy kaavasta S = | A | • | B | • sin (A ^ B), missä A ^ B on kulma annettujen vektorien A ja B välillä. Sini voidaan löytää kosinin kautta käyttämällä trigonometrista perustunnusta: sin²α + cos²α = 1. Kosinus voidaan ilmaista koordinaatteina kirjoitettujen vektorien skalaaritulona.

3

Vektorin A skalaarituote vektorilla B merkitään (A, B). Määritelmän mukaan se on yhtä suuri kuin (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). Ja koordinaateissa skalaarituote kirjoitetaan seuraavasti: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Täältä voimme ilmaista vektorien välisen kulman kosinus: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). Laskurissa skalaarituote, nimittäjessä vektorien pituudet.

4

Nyt voimme ilmaista sinin pää trigonometrisestä identiteetistä: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Jos oletetaan, että vektorien välinen kulma α on akuutti, miinus siniaalta voidaan hylätä, jättäen vain plusmerkin, koska akuutin kulman sini voi olla vain positiivinen (tai nolla nollakulmassa, mutta tässä kulma ei ole nolla, tämä näytetään tilassa) vektoreiden ei-lineaarisuus).

5

Nyt meidän on korvattava kosinin koordinaattilause sini-kaavassa. Tämän jälkeen jäljellä on vain tuloksen kirjoittaminen rinnansuuntaisen alueen kaavaan. Jos kaikki tämä tehdään ja numeerista lauseketta yksinkertaistetaan, niin käy ilmi, että S = a1 • b2-a2 • b1. Siten vektoreille A (a1, a2) ja B (b1, b2) konstruoidun suuntakuvan pinta-ala saadaan kaavalla S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Tuloksena oleva lauseke on matriisin determinantti, joka koostuu vektoreiden A ja B koordinaateista: a1 a2b1 b2.

7

Tosiasiassa, jotta saadaan kaksiulotteisen matriisin determinantti, on välttämätöntä kertoa pää diagonaalin elementit (a1, b2) ja vähentää tästä sivuttainteriaalin (a2, b1) tulo.