Kuinka löytää pyöreän segmentin alue

Yksi yleisimmistä geometrisistä ongelmista on laskea ympyränmuotoisen segmentin pinta-ala - ympyrän osa, joka rajoittuu soinnulla, ja vastaava ympyrän kaari.

Pyöreän segmentin pinta-ala on yhtä suuri kuin vastaavan pyöreän sektorin ja kolmiota vastaavan alueen, jonka muodostavat sektorin vastaavan segmentin säteet ja segmenttiä sitova akordi, välinen ero.

Esimerkki 1

Ympyrän kiertävän soinnun pituus on yhtä suuri kuin a: n arvo. Sointua vastaavan kaaren asteen mitta on 60 °. Etsi pyöreän segmentin alue.

päätös

Kolmio, jonka muodostavat kaksi sädettä ja sointu, ovat tasavälejä, joten keskikulman yläosasta sointujen muodostaman kolmion sivulle vedetty korkeus on myös keskikulman puolittaja, puolittaen sen ja mediaanin, puolittaen soinnun. Tietäen, että suorakulmaisen kolmion kulman sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen puolen suhde hypoteenukseen, voimme laskea säteen:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Tietyn kulman vastaava sektorin pinta-ala voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Alaa vastaavan kolmion pinta-ala lasketaan seuraavasti:

S ▲ = 1/2 * ah, missä h on korkeus, joka on vedettynä keskikulman yläreunasta akordiin. Pythagoran lauseen mukaan h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Siksi S ▲ = √3 / 4 * a².

Segmentin pinta-ala laskettuna Sseg = Sc - S ▲ on yhtä suuri kuin:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Kun korvaat numeerisen arvon a: n sijasta, voit helposti laskea segmentin alueen numeerisen arvon.

Esimerkki 2

Ympyrän säde on yhtä suuri kuin a. Segmenttiä vastaavan kaaren asteen mitta on 60 °. Etsi pyöreän segmentin alue.