Kuinka ratkaista yhtälöt juurten kanssa

Joskus yhtälöissä on merkki juurista. Monille opiskelijoille näyttää siltä, ​​että tällaisten yhtälöiden ratkaiseminen on hyvin vaikeaa "juurten kanssa" tai, oikein sanottuna, irrationaalisten yhtälöiden ratkaiseminen, mutta näin ei ole.

Käyttöohje

1

Toisin kuin muun tyyppiset yhtälöt, esimerkiksi neliömäiset tai lineaariset yhtälöjärjestelmät, ei ole olemassa vakioalgoritmia yhtälöiden ratkaisemiseksi juurten kanssa tai tarkemmin sanottuna irrationaalisia yhtälöitä. Kussakin erityistapauksessa on tarpeen valita sopivin ratkaisumenetelmä yhtälön "ulkonäön" ja piirteiden perusteella.

Yhtälön osien nostaminen samaan asteeseen.

Yleensä yhtälöiden ratkaisemiseksi juurten kanssa (irrationaaliset yhtälöt) käytetään yhtälön molemmin puolin nostamista samaan asteeseen. Pääsääntöisesti asteeseen, joka on yhtä suuri kuin juuren aste (neliö neliöjuurelle, kuutio kuutiomalleelle). On pidettävä mielessä, että kun nostetaan yhtälön vasenta ja oikeaa puolta tasaiseksi, hänellä voi olla “ylimääräisiä” juuria. Siksi tässä tapauksessa on tarkistettava saadut juuret korvaamalla ne yhtälössä. Erityistä huomiota yhtälöiden ratkaisemisessa neliömäisillä (parillisilla) juurilla tulisi kiinnittää muuttujan (ODZ) sallittujen arvojen alueelle. Joskus pelkkä ODL: n arviointi riittää yhtälön ratkaisemiseen tai yksinkertaistamiseen.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö:

√ (5x-16) = x-2

Sijoita neliö yhtälön molemmille puolille:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², mistä saamme peräkkäin:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h²-9x + 20 = 0

Ratkaisemalla saatu neliömäinen yhtälö, löydämme sen juuret:

x = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Korvaamalla molemmat löydetyt juuret alkuperäiseen yhtälöön, saadaan oikea tasa-arvo. Siksi molemmat luvut ovat yhtälön ratkaisuja.

2

Menetelmä uuden muuttujan käyttöönottamiseksi.

Joskus on helpompaa löytää ”yhtälö juurten kanssa” (irrationaalinen yhtälö) juuret lisäämällä uusia muuttujia. Itse asiassa tämän menetelmän ydin pelkistetään yksinkertaisemmaksi ratkaisun tietueeksi, ts. sen sijaan, että kirjoittaisit tilaa vievän lausekkeen joka kerta, se korvataan legendalla.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: 2x + √x-3 = 0

Voit ratkaista tämän yhtälön neliöimalla molemmat puolet. Laskelmat itse näyttävät kuitenkin olevan melko hankalia. Uuden muuttujan käyttöönoton myötä päätöksentekomenettely osoittautuu paljon elegantimmaksi:

Esittelemme uuden muuttujan: y = √ x

Sitten saamme tavallisen asteen yhtälön:

2v² + y-3 = 0, muuttujalla y.

Ratkaisemalla tuloksena oleva yhtälö, löydämme kaksi juuria:

y1 = 1 ja y2 = -3 / 2, korvaamalla löydetyt juuret lausekkeessa uudelle muuttujalle (y), saadaan:

√ x = 1 ja √ x = -3 / 2.

Koska neliöjuuren arvo ei voi olla negatiivinen luku (jos et koske monimutkaisten numeroiden aluetta), saamme ainoan ratkaisun:

x = 1.

neliöjuuriratkaisu