Kuinka ratkaista yhtälöjärjestelmät

Yhtälöjärjestelmää ei ole vaikea ratkaista käyttämällä perusmenetelmiä lineaaristen yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi: korvausmenetelmää ja lisäysmenetelmää.

Käyttöohje

1

Tarkastellaan menetelmiä yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi käyttämällä esimerkkiä kahden lineaarisen yhtälön järjestelmästä, jolla on kaksi tuntematonta arvoa. Yleisesti ottaen tällainen järjestelmä on kirjoitettu seuraavasti (vasemmalla yhtälöt yhdistetään kiharaan):

ax + b = c

dx + ey = f, missä

a, b, c, d, e, f ovat kertoimet (erityiset numerot), ja x ja y, kuten tavallisesti, ovat tuntemattomia. Lukuja a, b, c, d kutsutaan kertoimiksi tuntemattomille ja c ja f kutsutaan ilmaisiksi ehdoiksi. Ratkaisu tällaiseen yhtälöjärjestelmään löytyy kahdella päämenetelmällä.

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen korvausmenetelmällä.

1. Otetaan ensimmäinen yhtälö ja ilmaistaan ​​yksi tuntemattomista (x) kertoimina ja toinen tuntematon (y):

x = (kerrallaan) / a

2. Korvaa x: lle saatu lauseke toiseen yhtälöön:

d (c-by) / a + ey = f

3. Ratkaisemalla tuloksena oleva yhtälö, löydämme lausekkeen y: lle:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Korvaa tuloksena oleva lauseke y: lle lausekkeelle x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Esimerkki: sinun on ratkaistava yhtälöjärjestelmä:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Etsi x: n arvo ensimmäisestä yhtälöstä:

x = (2 v + 4) / 3

Korvaa tuloksena oleva lauseke toiseen yhtälöön ja saat yhtälön yhdellä muuttujalla (y):

(2v + 4) / 3 + 3v = 5, mistä saamme:

y = 1

Nyt korvaamme y: n havaitun arvon lausekkeessa muuttujalle x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Vastaus: x = 2, y = 1.

2

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu summaus (vähennys) -menetelmällä.

Tämä menetelmä vähentää yhtälöiden molemmin puolin kertomiseksi lukuilla (parametreilla) siten, että seurauksena yhden muuttujan kertoimet osuvat yhteen (mahdollisesti vastakkaisen merkin kanssa).

Yleisessä tapauksessa ensimmäisen yhtälön molemmat puolet on kerrottava (-d) ja toisen yhtälön molemmat puolet a: lla. Seurauksena on, että saamme:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Lisäämällä tuloksena olevat yhtälöt saadaan:

-bdu + aeu = -cd + af, mistä saamme lausekkeen muuttujalle y:

y = (af-cd) / (ae-bd), korvaamalla lausekkeen y missä tahansa järjestelmän yhtälössä, saadaan:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

tästä yhtälöstä löydämme toisen tuntemattoman:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Esimerkki. Ratkaise yhtälöjärjestelmä lisäämällä tai vähentämällä:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Kerro ensimmäinen yhtälö (-1) ja toinen 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Lisäämällä (termi termillä) molemmat yhtälöt saadaan:

11y = 11

Mistä saamme:

y = 1

Korvaamme saadun y: n arvon millä tahansa yhtälöllä, esimerkiksi toisena, saamme:

3x + 9 = 15, mistä

x = 2

Vastaus: x = 2, y = 1.